题面：[国家集训队] Tree I

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题目描述

给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有 $need$ 条白色边的生成树。

题目保证有解。

输入格式

第一行 $V,E,need$ 分别表示点数，边数和需要的白色边数。

接下来 $E$ 行，每行 $s,t,c,col$ 表示这边的端点（点从 $0$ 开始标号），边权，颜色（$0$ 白色 $1$ 黑色）。

输出格式

一行，表示所求生成树的边权和。

样例 #1

样例输入 #1

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2 2 1
0 1 1 1
0 1 2 0

样例输出 #1

1
2

提示

对于 $5\%$ 的数据，$V\leq 10$。

对于另 $15\%$ 的数据，$V\leq 15$。

对于 $100\%$ 的数据，$V\leq 5\times10^4,E\leq 10^5$。

所有数据边权为 $[1,100]$ 中的正整数。

By WJMZBMR

思路

首先，要达到最小生成树固定颜色边的目的，最首要的部分就是控制权重。但是发现如果单一的规定白色边或者黑色边排在前面，满足不了一定是 need 条白色边的需求，所以不难想到枚举给白色边的加权，发现白色边加权越大，最小生成树的白色边越少，发现单调性，可以二分，搞定。

代码

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/**
 * @file    : asdf.cpp 
 * @date    : 2024-11-13
 * 
 * @author  : Chiori
 * @QQEmail : [email protected]
 * @Outlook : [email protected]
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2024
 * 
 * @brief   : Someone say it's WQS binary search.
 *            I don't know what is it. emmm... just so so.
 */

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
// typedef __int128 int128;
typedef pair<int , int > pii;
typedef unsigned long long ull;

namespace FastIO 
{
    // char buf[1 << 20], *p1, *p2;
    // #define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 20, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
    template<typename T> inline T read(T& x) {
        x = 0;
        int f = 1;
        char ch;
        while (!isdigit(ch = getchar())) if (ch == '-') f = -1;
        while (isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
        x *= f;
        return x;
    }
    template<typename T, typename... Args> inline void read(T& x, Args &...x_) {
        read(x);
        read(x_...);
        return;
    }
    inline ll read() {
        ll x;
        read(x);
        return x;
    }
};
using namespace FastIO;

const int N = 5e4 + 10;
const int M = 1e5 + 10;

int n, m, need;
struct Edge {
    int u, v, w, cl;
}e[M];

int fa[N];
int find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); }

inline void Input() {
    read(n, m, need);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        read(e[i].u, e[i].v, e[i].w, e[i].cl);
        e[i].u++, e[i].v++;
    }
}

inline bool Check(int mid, int &ans) {
    for(int i = 1; i <= m; i++) 
        if(e[i].cl == 0) 
            e[i].w += mid;
    // add a num to white edge
    // if the number of white edge in mst is bigger than need ,
    // we need make mid more big
    for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    sort(e + 1, e + m + 1, [](Edge a, Edge b) {
        if(a.w == b.w) return a.cl < b.cl;
        return a.w < b.w;
    });
    int sum = 0, cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int u = find(e[i].u);
        int v = find(e[i].v);
        if(u == v) continue;
        fa[u] = v;
        sum += e[i].w;
        if(e[i].cl == 0) cnt++;
    }    
    for(int i = 1; i <= m; i++) 
        if(e[i].cl == 0) 
            e[i].w -= mid;
    if(cnt >= need) {
        ans = sum - need * mid;
        return 1;
    }
    return 0;
}

inline void Work() {
    int l = -200, r = 200, best = -1;
    while(l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(Check(mid, best)) {
            l = mid + 1;
        }
        else {
            r = mid - 1;
        }
    }
    printf("%d\n", best);
}

int main() {
    int T = 1;
    while(T--) {
        Input();
        Work();
    }
    return 0;
}