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题目描述

给一棵 $n$ 个节点的树, 节点编号为 $1$ ~ $n$ ，每条边都有一个花费值。

有 $k$ 个机器人从 $s$ 点出发, 问让机器人遍历所有边，最少花费值多少？

题解

这道题目一眼树形 DP ，那么问题就是，怎么设置状态。我们设 $dp[i][j]$ 表示 $i$ 号点上面有 $j$ 个机器人的最小花费。那么就有转移方程：
$$
dp[root][j] = min(dp[root][j-k] + dp[son][k]+k\times edge_weight)
$$
这个的意思就是，我这里当前有 $j$ 个机器人，分出来 $k$ 个给儿子走下去。初始化定义一下 $dp[i][0]$ 即可。

代码

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/**
 * @file HDU4003.cpp
 * @author Zhoumouren
 * @brief 
 * @version 0.1
 * @date 2024-08-22
 * 
 * @copyright Copyright (c) 2024

We set the dp[i][j] is on the node i we have j numbers of robot.
then Dfs to calc dp.

*/

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef __int128 int128;

namespace FastIO 
{
    char buf[1 << 20], *p1, *p2;
    #define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 20, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
    template<typename T> inline T read(T& x) {
        x = 0;
        int f = 1;
        char ch;
        while (!isdigit(ch = getchar())) if (ch == '-') f = -1;
        while (isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
        x *= f;
        return x;
    }
    template<typename T, typename... Args> inline void read(T& x, Args &...x_) {
        read(x);
        read(x_...);
        return;
    }
    inline ll read() {
        ll x;
        read(x);
        return x;
    }
    inline void read(char *s) {
        scanf("%s", s + 1);
    }
};
using namespace FastIO;

const int N = 1e4 + 10;

struct Edge {
    int to, nt, wt;
    Edge() {}
    Edge(int to, int nt, int wt) : to(to), nt(nt), wt(wt) {}
}e[N << 1];
int hd[N], cnte;
void AddEdge(int u, int v, int w) {
    e[++cnte] = Edge(v, hd[u], w);
    hd[u] = cnte;
}

int n, s, K;

ll dp[N][20];

inline void Input() {
    read(n, s, K);
    int u, v, w;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        read(u, v, w);
        AddEdge(u, v, w);
        AddEdge(v, u, w);
    }
}

inline void Dfs(int u, int fa) {
    for(int i = hd[u]; i ; i = e[i].nt) {
        int v = e[i].to;
        if(v == fa) continue;
        Dfs(v, u);
        for(int j = K; j >= 0; j--) {
            dp[u][j] += dp[v][0] + 2 * e[i].wt;
            for(int k = 1; k <= j; k++) {
                dp[u][j] = min(dp[u][j], dp[u][j - k] + dp[v][k] + k * e[i].wt);
            }
        }
    }
}

inline void Work() {
    Dfs(s, s);
    printf("%lld", dp[s][K]);
}

int main() {
    int T = 1;
    while(T--) {
        Input();
        Work();
    }
    return 0;
}