【奇技淫巧】你真的会导嘛？

导数还是太有用了，这下不得不学了。导数的定义就是很简单的，一个函数每一个点上的斜率。这个斜率的求法其实本质上就是一个极限思想，推导也很简单，直接就是用斜率的计算公式即可。

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

这篇文章主要是记一写导数的公式和易错点，不然我也容易忘。

特殊函数的导数

从最基础的开始。

常数函数

常数函数的斜率处处为 $0$，带入上面的公式也可以知道。

幂函数

$$f(x)=x^a\longrightarrow f'(x)=ax^{a-1}$$

证明：

$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^a-x^a}{\Delta x}\\ &=x^a\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^a-1}{\Delta x}\\ &=x^a\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{e^{a\ln(1+\frac{\Delta x}{x})}-1}{\Delta x}\\ &=x^a\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a\ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}\\ &=ax^{a-1}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}\\ &= ax^{a-1} \end{aligned}$$

三角函数

$$\begin{aligned} &(\sin x)'=\cos x\\ &(\cos x)'=-\sin x\\ &(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x} \end{aligned}$$

证明1：

$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2\cos(\frac{2x+\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\cos\left(\frac{2x+\Delta x}{2}\right)=\cos x \end{aligned}$$

证明2：

$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-2\sin(\frac{2x+\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}-\sin\left(\frac{2x+\Delta x}{2}\right)=-\sin x \end{aligned}$$

证明3：这个有非定义法的方式，我觉得计算量小一点，所以一会说。

指数函数

$$\begin{aligned} &(a^x)'=a^x\ln a\\ &(e^x)'=e^x \end{aligned}$$

证明：显然如果第一个得证第二个也成立。

$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}\\ &=a^x\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\ &=a^x\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{e^{\Delta x\ln a}-1}{\Delta x}\\ &=a^x\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x\ln a}{\Delta x}\\ &=a^x\ln a \end{aligned}$$

对数函数

$$\begin{aligned} &(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}\\ &(\ln x)'=\frac{1}{x} \end{aligned}$$

证明：同理如果一得证二显然。

$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x\ln a}\\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{\Delta x}{x}}{\Delta x\ln a}=\frac{1}{x\ln a} \end{aligned}$$

导数的四则运算

$$\begin{aligned} &[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)\\ &[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\\ &\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)} \end{aligned}$$

这个不懂推导，直接背吧，没什么好说的。给个口诀，加减法没什么好说的，乘法就是：左导乘右加右导乘左，除法就是：分母平方，分子上导乘下减下导乘上。

复合函数的导数

$$[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$$

这个我也不懂，还是背的好。

易错题

求导：

$$f(x)=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x,x>0$$

不能把他当成里面一个分式和指数函数的复合函数求导。因为这个分式不是常数，指数函数要是底数是常数的才可以，正确的求导方式是这样：

$$f(x)=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x=e^{x\ln\left(\frac{x}{1+x}\right)}$$

对其求导即可得到答案。

$$\begin{aligned} f'(x)&=e^{x\ln(\frac{x}{1+x})}\cdot\left[x\ln\left(\frac{x}{1+x}\right)\right]'\\ &=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x\left[\ln\left(\frac{x}{1+x}\right)+x\cdot\frac{1+x}{x}\cdot\left(\frac{x}{1+x}\right)'\right]\\ &=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x\left[\ln\left(\frac{x}{1+x}\right)+\frac{1}{1+x}\right] \end{aligned}$$

千万不要忘记对于那一坨自然对数求导其实是一个复合函数！这题真的是坑中坑。