题面

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题目描述

在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 $N$ 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 $m$，尾标记为 $r$，后一颗能量珠的头标记为 $r$，尾标记为 $n$，则聚合后释放的能量为 $m \times r \times n$（Mars 单位），新产生的珠子的头标记为 $m$，尾标记为 $n$。

需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设 $N=4$，$4$ 颗珠子的头标记与尾标记依次为 $(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)$。我们用记号 $\oplus$ 表示两颗珠子的聚合操作，$(j \oplus k)$ 表示第 $j,k$ 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 $4$，$1$ 两颗珠子聚合后释放的能量为：

$(4 \oplus 1)=10 \times 2 \times 3=60$。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

$(((4 \oplus 1) \oplus 2) \oplus 3)=10 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=710$。

输入格式

第一行是一个正整数 $N$（$4 \le N \le 100$），表示项链上珠子的个数。第二行是 $N$ 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 $1000$。第 $i$ 个数为第 $i$ 颗珠子的头标记（$1 \le i \le N$），当 $i<N$ 时，第 $i$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $i+1$ 颗珠子的头标记。第 $N$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $1$ 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

一个正整数 $E$（$E\le 2.1 \times 10^9$），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例 #1

样例输入 #1

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2
4
2 3 5 10

样例输出 #1

1
710

提示

NOIP 2006 提高组 第一题

思路

这道题目一眼区间 DP，直接大力设一个状态表示这一段区间的最大能量，然后就是传统的区间DP板子了。

代码

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#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 int128;

namespace FastIO {
	template<typename Tp>
	inline void read(Tp &x) {
		char ch;
		int flag = 0;
		x = 0;
		while(!isdigit(ch = getchar())) if(ch == '-') flag = 1;
		while(isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch - '0'), ch = getchar();
		if(flag) x = -x;
	}
	template<typename Tp , typename ...  Args>
	inline void read(Tp &x, Args & ... x_) {
		read(x);
		read(x_ ... );
	}
};
using namespace FastIO;

const int N = 210;

int n;
ll e[N];

ll dp[N][N];

inline void Input() {
	read(n);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		read(e[i]);
		e[i + n] = e[i];
	}
}

inline void Work() {
	ll ans = -1;
	for(int i = 2; i < 2 * n; i++) {
        for(int j = i - 1; i - j < n && j >= 1; j--) {
            for(int k = j; k < i; k++) {
				dp[j][i] = max(dp[j][i], dp[j][k] + dp[k + 1][i] + e[j] * e[k + 1] * e[i + 1]);
			}
            ans = max(ans, dp[j][i]);
        }
    } 
	printf("%lld", ans);
 
}

int main() {
	int T = 1; 
	// read(T);
	while(T--) {
		Input();
		Work();
	}
	return 0;
}