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给定一个含 $N$ 个元素的数组 $A$ ，下标从 $1$ 开始。请找出下面式子的最大值：

$(A[l1]⨁A[l1+1]⨁…⨁A[r1])+(A[l2]⨁A[l2+1]…⨁A[r2])$

其中 $1≤l1≤r1<l2≤r2≤N$，其中 $x\bigoplus y$ 表示 $x$ 和 $y$ 的按位异或。

思路

首先要做这道题我们有个构想，就是一类经典题，要求两个不重叠也不相邻的连续异或和最大值。如果是不是异或和，单纯的是加和的话，我们一定有人会做，就是前后缀最大子段和相加。

那么如果是异或的话，我们有这样的性质。$a\bigoplus a =0$ 就是说相同的数异或就相当于没有异或，有了这个性质我们可以有前缀异或和。就是用 $sum[i]$ 表示 $A_1 \bigoplus A_2 \bigoplus \cdots \bigoplus A_i $ 的值，那么如果是区间 $[l,r]$ 之间的数的异或和，就可以用 $sum[r] \bigoplus sum[l - 1]$ 。

然后如果我们把前缀最大值和后缀最大值分开算的话，单独的前缀最大值就可以概括为求一个前缀中 $sum[r]\bigoplus sum[l - 1]$ 的最大值，这个就很好求了，就是一个模板。

友情链接：

【算法介绍】字典树算法 | 祝馀宫

然后后缀其实也是一个思路，最后综合一下即可。

代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
// typedef __int128 int128;
typedef pair<int , int > pii;
typedef unsigned long long ull;

namespace FastIO 
{
    // char buf[1 << 20], *p1, *p2;
    // #define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 20, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
    template<typename T> inline T read(T& x) {
        x = 0;
        int f = 1;
        char ch;
        while (!isdigit(ch = getchar())) if (ch == '-') f = -1;
        while (isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
        x *= f;
        return x;
    }
    template<typename T, typename... Args> inline void read(T& x, Args &...x_) {
        read(x);
        read(x_...);
        return;
    }
    inline ll read() {
        ll x;
        read(x);
        return x;
    }
};
using namespace FastIO;

const int N = 400010;

int n;
int a[N];

inline void Input() {
    read(n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        read(a[i]);
    }
}

int pre[N], suf[N];

int ch[N << 5][2], tot; 

inline void Clear() {
    memset(ch, 0, sizeof(ch));
    tot = 1;
}

int dp[N];

inline void Insert(int x) {
    int p = 1;
    for(int i = 31; i >= 0; i--) {
        int now = (x >> i) & 1;
        if(!ch[p][now]) {
            ch[p][now] = ++tot;
        }
        p = ch[p][now];
    }
}

inline int Query(int x) {
    int p = 1, ans = 0;
    for(int i = 31; i >= 0; i--) {
        int now = (x >> i) & 1;
        if (ch[p][now ^ 1]) {
            p = ch[p][now ^ 1];
            ans += 1LL << i;
        }
        else p = ch[p][now];
    }
    return ans;
}

inline void Work() {
    Clear(); Insert(0); int now = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        now ^= a[i];
        Insert(now);
        pre[i] = max(pre[i - 1], Query(now));
        // cout << now << ' ';
    }
    Clear();
    int ans = 0;
    Insert(0); now = 0;
    for(int i = n; i >= 1; i--) {
        now ^= a[i];
        Insert(now);
        suf[i] = max(suf[i + 1], Query(now));
    }
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        // cout << pre[i] << ' ' << suf[i + 1] << endl;
        ans = max(ans, pre[i] + suf[i + 1]);
    }
    printf("%d\n", ans);
}

int main() {
    int T = 1;
    while(T--) {
        Input();
        Work();
    }
    return 0;
}