题面：解方程

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计算关于 $x, y$ 方程 $Ax+By+C=0$ 满足 $x_1\le x \le x_2,y_1\le y\le y_2$ 的整数解有多少个，其中给出 $A,B,C,x_1,x_2,y_1,y_2$ 并保证 $x_1\le x_2,y_1\le y_2$。

思路

注意到方程可以化简为 $Ax+By=-C$，拓展欧几里得可以解决问题 $Ax+By=\gcd(A,B)$ 的问题，所以将方程中的未知数整体提取 $\frac{-C}{\gcd(A,B)}$，拓欧解出特解后乘回去，最后通过拓欧一般解计算公式

最后计算出合理的新的 $x,y$ 上下界即可。

关于无解和特解情况看代码。

代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
// typedef __int128 int128;
typedef pair<int , int > pii;
typedef unsigned long long ull;

namespace FastIO 
{
    // char buf[1 << 20], *p1, *p2;
    // #define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 20, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
    template<typename T> inline T read(T& x) {
        x = 0;
        int f = 1;
        char ch;
        while (!isdigit(ch = getchar())) if (ch == '-') f = -1;
        while (isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
        x *= f;
        return x;
    }
    template<typename T, typename... Args> inline void read(T& x, Args &...x_) {
        read(x);
        read(x_...);
        return;
    }
    inline ll read() {
        ll x;
        read(x);
        return x;
    }
};
using namespace FastIO;

ll A, B, C, lx, rx, ly, ry;

inline void Input() {
    read(A, B, C, lx, rx, ly, ry);
}

inline void Exgcd(ll a, ll b, ll&x, ll&y) {
    if(b == 0) x = 1, y = 0;
    else Exgcd(b, a % b, y, x), y -= (a / b) * x;
}

inline void Work() {
    C = -C;
    if(A == 0 && B == 0) {
        if(C == 0) printf("%lld\n", (rx - lx + 1) * (ry - ly + 1));
        else printf("0\n");
        return ;
    }
    else if(A == 0) {
        if(C % B) printf("0\n");
        else if(C / B < ly || C / B > ry) printf("0\n");
        else printf("%lld\n", rx - lx + 1);
        return ;
    }
    else if(B == 0) {
        if(C % A) printf("0\n");
        else if(C / A < lx || C / A > rx) printf("0\n");
        else printf("%lld\n", ry - ly + 1);
        return ;
    }
    int g = __gcd(A, B);
    if(C % g) {
        printf("0\n");
        return ;
    }
    ll x, y;
    Exgcd(A, B, x, y);
    x = x * (C / g), y = y * (C / g);
    ll xx = B / g, yy = A / g;
    lx = ((x - lx) % xx + abs(xx)) % abs(xx) + lx;
    rx = ((x - rx) % xx - abs(xx)) % abs(xx) + rx;
    if(lx > rx) {
        printf("0\n");
        return ;
    }
    ll Ymn = (-yy) * ((lx - x) / xx) + y;
    ll Ymx = (-yy) * ((rx - x) / xx) + y;
    if(Ymn > Ymx) swap(Ymn, Ymx);
    ly = max(ly, Ymn), ry = min(ry, Ymx);
    ly = ((y - ly) % yy + abs(yy)) % abs(yy) + ly;
    ry = ((y - ry) % yy - abs(yy)) % abs(yy) + ry;
    if(ly > ry) {
        printf("0\n");
        return ;
    }
    printf("%lld\n", (ry - ly) / abs(yy) + 1);
}

int main() {
    int T = read(), ca = 0;
    while(T--) {
        Input();
        printf("Case %d: ", ++ca);
        Work();
    }
    return 0;
}