并查集
需求：问题需要问题$\tt A$ 是 $\tt B$ 的亲戚，$\tt B$ 是 $\tt C$ 的亲戚，那么 $\tt A$ 是 $\tt C$ 的亲戚，给出若干个这样的关系，问某两个人是亲戚吗？
思考想要实现这样的关系，我们可以先不往算法的方向想，我们可以想如果这是小学数学题你怎么办，考虑如下几种情况：
这样就是我们要说的并查集的基本原理了，只不过写成代码还有亿点点路程，让我们继续推
想要实现这样的功能我们为什么不用 $\tt set$ 集合呢，似乎比我们想要的还要更加直观。当然不行，$\tt set$ 的本质也是树啊（，而且如果我在这个并查集上面要带权值呢（
所以我们这就是要用树形结构，思路也很好懂，比如说我这个 $\tt A$ 是 $\tt B$ 的亲戚，我就可以把 $\tt A$ 的父亲设为 $\tt B$ 这样的操作。
概念 并查集是一种用于管理元素所属集合的数据结构，实现为一个森林，其中每棵树表示一个集合，树中的节点表示对应集合中的元素。
编写：实现思想基础思路用刚刚的思路就可以写出如下代码：
12345int fa[N];int find(int x) { ...
树的直径
概念：什么是树的直径树上距离最远的两个点所连接的路径，叫做树的直径，显而易见的，一个树可以有多个直径。
实现：怎么写树的直径Dfs深搜两遍思路很简单，直接去找最远的两个点。先从任意点开始，找到距离他最远的点，记作 $x$ ；然后从 $x$ 开始找最远的点，记作 $y$ 。$x$ 和 $y$ 连接后的路径就是直径。但是这种深搜的做法无法解决负边权的树。
1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int n;vector<pair<int , int > >e[30010];int dis[30010], vis[30010];void Input(){ scanf("%d", &n); int u, v, w; for(int i=1; i<n; i++){ scanf(& ...
USACO 进击的奶牛
题面大秦为你打开题目传送门
题目描述Farmer John 建造了一个有 $N$（$2 \leq N \leq 10 ^ 5$) 个隔间的牛棚，这些隔间分布在一条直线上，坐标是 $x _ 1, x _ 2, \cdots, x _ N$（$0 \leq x _ i \leq 10 ^ 9$）。
他的 $C$（$2 \leq C \leq N$）头牛不满于隔间的位置分布，它们为牛棚里其他的牛的存在而愤怒。为了防止牛之间的互相打斗，Farmer John 想把这些牛安置在指定的隔间，所有牛中相邻两头的最近距离越大越好。那么，这个最大的最近距离是多少呢？
输入格式第 $1$ 行：两个用空格隔开的数字 $N$ 和 $C$。
第 $2 \sim N+1$ 行：每行一个整数，表示每个隔间的坐标。
输出格式输出只有一行，即相邻两头牛最大的最近距离。
样例 #1样例输入 #11234565 312849
样例输出 #113
题意在坐标轴上有 n 个点，从中选取 m 个点，使得这m个点两两之间的最小距离最大。
看到使最小什么什么最大，直接二分，二分最小距离，$\tt Check$ 函数直接 $O(n) ...
POJ3685 Matrix
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有一个$N× N$ 的矩阵
第 $i$ 行第 $j$ 列的值为 $𝑖^2 +100000× 𝑖 + 𝑗^2 −100000× 𝑗 + 𝑖 × 𝑗$
求矩阵中第 $M$ 小的数。
题意二分第 $M$ 小的数，然后 $check$ 时枚举 $i$ ，再二分找小于 $mid$ 的数字，加起来看看是不是 $M$
代码1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;int n;ll m;void Input(){ scanf("%d%lld", &n, &m);}ll Calc(ll i, ll j, ll x){ if(i==n+1) return max(x, ...
517七段第四课D
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找出最小的自然数据 $N$ ，使得 $N!$ 刚好有 $Q$ 个后缀零。$N!=1\times2\times…\times N$ 例如 $5!=1\times2\times3\times4\times 5=120$, $120$有 $1$ 个后缀 $0$ 。
题意显而易见的，$N$ 越大，阶乘的后缀零越多，所以这是一个二分题。
二分答案 $N$ ，对于它数 $1$ 至 $N$ 有几个因子 $5$ 。显然，$1$ 至 $N$ 中 $5$ 的倍数是 $\lfloor N/5\rfloor$ 但是，这还不够，因为有一些数字有多个因数 $5$ 。所以要把那些 $5$ 的倍数拿出来反复如上操作，如下图。
我们设 $N = 30$ ，然后做第一个除以 $5$ 的操作，答案是 $6$ 。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
N
N
N
N
Y
N
N
N
N
Y
N
N
N
N
Y
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
N
N
N
N
Y ...
517七段第四课B
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看下图
已知三角形 $ABC$ ，$DE$ 平行于 $BC$ ，给定三角形 $ADE$ 与四边形 $BCED$ 的面积之比，求 $AD$ 的长度。
题意显而易见的，使用相似，这道题可以用数学方法 $O(1)$ 求解。三分的话我们可以直接三分答案拿着算出的答案就去和比例比，就可以了。
代码123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const double eps = 1e-10;double AB, AC, BC, k;void Input() { scanf("%lf%lf%lf%lf", &AB, &AC, &BC, &k); // cout<<AB<<AC<<BC<<k& ...
517七段第四课A
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给定三维空间中的两个点 $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ ，以及点 $P(x, y, z)$ 。
计算点 $P$ 到线段 $AB$ 的最短距离。
思路首先，三点确定一平面，此题一定有解。
其次，对于一个点与线段的关系，会有如下 $3$ 种。
而这一类型的题显然是用三分做的（我不介意你用数学方法做）
我们可以三分点与线段的最短线段的交点位置，然后求解。
代码1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const double eps=1e-10;double ax, ay, az, bx, by, bz, cx, cy, cz;void Input(){ scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &ax, ...
01分数规划
问题：需求有n对元素 $(𝑣_1,𝑤_1),(𝑣_2,𝑤_2), (𝑣_3,𝑤_3), …,(𝑣_𝑛,𝑤_𝑛)$。要求从中挑选出 $k$ 对，使得 $v$ 的和除以 $w$ 的和最大。
解法：分析显然是一道二分题，我们直接二分最大值可得式子：（ $x[i]$ 表示选或不选，值是 $0$ 或 $1$ ）
\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{v_i\times x_i}}{\sum\limits_{i=1}^n{w_i\times x_i}} >mid由于浮点精度误差问题，将其改写为乘法形式
\sum\limits_{i=1}^n{(v_i\times x_i)}>mid \times \sum\limits_{i=1}^n{(w_i\times x_i)}接着移项
\sum\limits_{i=1}^n{(v_i\times x_i)}-mid \times \sum\limits_{i=1}^n{(w_i\times x_i)} > 0由于有 $x_i$ 的共因子，所以提取出来
\sum\limits_{i=1}^n{x_i(v_i-mid ...
三分法
理论：什么是三分提到三分，首先就要回顾二分，二分是一种可以在单调函数上寻找值的算法，复杂度 $O(\log n)$ 。
三分与二分不一样的地方是，他把要寻找的值域分为三份，目的是寻找单峰函数的极值。
实现：怎么写三分如图：
假设我们要在 $l$ 到 $r$ 中查找最值，先取整个区间的中点。
1double mid = (l + r) / 2;
然后我们再取右半部分的中点 $midr$
1double midr = (mid + r) / 2;
然后比较 $mid$ 和 $midr$ 哪个更靠近最值，若 $mid$ 更靠近最值，则舍弃右区间，若 $midr$ 更靠近最值则舍弃左区间。
1234if(Check(mid) > Check(midr)) r = midr;else l = mid;
完整代码：
1234567891011double ssearch(double l,double r){ while(l+eps<=r){ double mid = (l + r) / 2; midr = (mid ...
倍增算法
理论：如何设计需求：要解决的问题对于一些题目，他们要求你计算一个区间内的最小值，没有操作，但是询问次数特别多，以至于树状数组和线段树 $O(m\log n)$ 的时间复杂度已经不够优秀，我们需要引入新的数据结构。
构造：寻找合理方案同样的，我们说过，数据结构是时空平衡的，想要把单次询问复杂度降下来，就需要更高的预处理和空间复杂度。根据我们数据结构的根本是分组的思想，我们需要重新修改分组。
我们思考一下，理想状态是什么？理想状态是我们预处理出来的值可以直接拿出来用，或者经过 $1$ 次运算可以得出。我们可以和两个极端比较一下。
预处理
单次
数组
读入 $O(n)$
for 一遍 $O(n)$
预处理出所有区间最值
$O(n^2)$
$O(1)$
理想数据结构
不知道
由于查询次数极多，所以必须需要单次 $O(1)$ 的算法
首先我们坑定得是 $1$ 对多的分组方式，我们可以打表看看
对于序列 $a[10] = [ 1, 4, 7, 3, 2, 8, 5, 9, 6, 10 ]$ 可以得出如下表格。
区间 $[l,r]$
1
2
3
4
5
6
...
